أصناف الكسيريات
يمكن تصنيف الكسيريات في ثلاث مجموعات رئيسية . تصنف هذه المجموعات الفركتلات اعتماداً على طرق توليدها أو تعريفها:
* أنظمة الوظائف التكرارية — تحتوي هذه المجموعة على قاعدة استبدال هندسي واضحة لكل فركتل أمثلة عليها. مجموعة كانتور,
سجادة سربنسكي, حشية سربنسكي, منحني بينو, ندفة ثلج كوخ, منحني التنين هارتر هايواي, المربع تي, اسفنجة مينجر .
* كسيريات الانفلات الوقتي — تعرف الفركتلات في هذه المجموعة عبر علاقة تكرارية من أجل كل نقطة في الفراغ (كما في المستويات المعقدة) أمثلة على ذلك مجموعة ماندلبروت and the فركتل ليابونوف.
* الكسيريات العشوائية تولد من خلال إجراءات مختارة بشكل عشوائي بدلاً من أن تكون محددة، أمثلة على ذلكالمناظر الفركتلية و رحلة ليفي.
يمكن تصنيف الكسيريات أيضاً اعتماداً على تشابهها الذاتي. توجد ثلاثة أنواع للتشابه الذاتي في الكسيريات:
* تشابه ذاتي متطابق — يعد أقوى أنواع التشابه الذاتي، تبدو الفركتلات ذاتها على أي مقياس تكبير، إن الكسيريات المعرفة باستخدام أنظمة التوابع التكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي متطابق.
* تشابه ذاتي ظاهري — وهو نمط غير محكم من التشابه الذاتي، تبدو الكسيريات متطابقة إلى حد ما (ولكن ليس تماماً) على مقاييس تكبير مختلفة، تحتوي فركتلات التشابه الذاتي الظاهري على نسخ مصغرة من كامل الفركتل ولكن بأشكال منحلة مشوهة، إن الكسيريات المعرفة بعلاقات تكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي ظاهري وليست ذات تشابه ظاهري متطابق.
* التشابه الذاتي الإحصائي — يعد من أضعف أنواع التشابه الذاتي، يبيدي الكسيرية قياسات رقمية أو إحصائية ثابتة على اختلاف مقاييس التكبير.
إن أكثر تعاريف الكسيريات بداهة تحتوي في مضمونها شكلاً من أشكال التماثل الظاهري الإحصائي، (البعد الكسيري أو الفركتلي مثلاً هو قياس رقمي محفوظ على اختلاف مقاييس التكبير). إن الفركتلات العشوائية هي أمثلة واضحة على كسيريات التشابه الذاتي الإحصائي، ولكنها ليست ذات تشابه ذاتي متطابق أو ظاهري. من الجدير بالملاحظة أنه ليست كل الأغراض ذات التماثل الذاتي هي فركتلات، فالخط الحقيقي (خط إقليدي متصل) مثلاً ذو تماثل ذاتي تام، إلا أن الادعاء بأن كامل الكائنات الإقليدية هي فركتلات يمثل موقف قلة من الأشخاص، فقد رأى ماندلبروت أن تعريف الكسيرية لا يجب أن يتضمن الكسيريات "الحقيقية" فقط، بل الأغراض الإقليدية الكلاسيكية، فوجود الأعداد الصماء على مستقيم الأعداد يولد خصائص معقدة لا متكررة. طالما أن البنية الحبيبية للكسيريات لا متناهية، فمن غير الممكن اعتبار أياً من الأغراض الطبيعية فركتلاً، على كل الأحوال، يمكن أن تبدي الأغراض الطبيعية خصائص مشابهة للفركتلات على عدد محدود من مقاييس التكبير.
أمثلة
تتضمن الأمثلة الشائعة للفركتلات مجموعة ماندلبروت, فركتل ليابونوف, مجموعة كانتور, حشية سربنسكي and سجادة سربنسكي, اسفنجة مينجر, منحني التنين, منحني بينو, والمجموعات المحدودة مجموعة كلاينايان, و منحني كوخ. قد تكون الفركتلات محددة أو مختارة بشكل عشوائي. الأنظمة الديناميكية الشواشية غالباً (إن ليس دائماً) تربط بالفركتلات. تتضمن مجموعة ماندلبروت أقراصاً كاملة ببعد يساوي 2، وهذا ليس مفاجئاً، ذلك أن الذي يفاجئ بشكل كبير هو أن بعد هاوسدروف لحد مجموعة ماندلبروت هو أيضاً 2.
مجموعة أخرى من الأمثلة المماثلة هي مجموعات كانتور، والتي بانتزاع فترات أصغر وأصغر من الفترة [0.1]، تترك مجموعات من الممكن (وقد يكون من غير الممكن) أن تحتوي على بنية تماثل ذاتي لدي تكبيرها، وقد تحتوي (أو لا تحتوي) على بعد d يقع بين 0 و 1. كتطبيق بسيط يظهر الترابط بين المفهومين، انتزاع الرقم 7 من الامتدادات العشرية يتصف بالتشابه الذاتي لدى تكبير انطوائي بمقدار العشرة، ولديه أيضاً البعد log9/log10 (تبقى القيمة ذاتها حتى لو قمنا بتغيير قاعدة اللوغاريتم)
الكسيريات في الطبيعة
من الممكن مصادفة أشباه الفركتلات بكثرة في الطبيعة. تظهر كائنات كهذه بنية معقدة على امتداد تكبير منته. هذه الفركتلات التي تتولد طبيعياً ( الغيوم ، الجبال ، شبكات الأنهار و أنظمة الأوعية الدموية ) لديها حدود دنيا وعليا، ولكنها تتميز عن بعضها بمقاييس تكبير مختلفة. على الرغم من وجود الفركتلات حولنا بكثرة، فإنها لم تدرس بشكل معمق حتى بدايات القرن العشرين، أما التعريفات العمومية لها فجاءت متأخرة قليلاً.
إن الأشجار والسراخس فركتلية بطبيعتها، ويمكن نمذجتها بالحاسب عبر استخدام خوارزميات تعاودية. تبدو الطبيعة العودية واضحة في هذه الأمثلة، ففرع الشجرة أو ورقة من السراخس هي تكرار مصغر للكل: ليس مطابقاً ولكنه مشابه من حيث الطبيعة.
التطبيقات على الهندسة الكسيرية
يمكن وصف الهندسة الكسيرية بانها النظام الحقيقى لكمية هائلة من الأنظمة الرياضية المعقدة في شكل تمثيلى قد تظهر من الوهلة الأولى انها بلا نظامية الا انها الطريقة المثلى لتمثيل هذه البيانات و للكسيريات العشوائية تطبيقات هامة، ذلك أنه من الممكن استخدامها لتوصيف كائنات من العالم الحقيقي شديدة اللانظامية، أمثلة على ذلك الغيوم، الجبال، الاضطرابات، الخطوط الساحلية والأشجار. تطبق التقنيات الفركتلية أيضاً في مجال ضغط الصور الفركتلي، بالإضافة إلى العديد من المجالات العلمية الأخرى.
هنالك العديد من التطبيقات للفركتلات في الحقول التالية:
* تصنيف الشرائح التي تصف تغير مراحل الأمراض في الطب
* ابتكار أنواع جديدة من الـموسيقى
* تخلق أشكال جديدة في مجال الفن
* ضغط الصورة والإشارة
* علم الزلازل
* علم الكون
* تصميم الألعاب الحاسوبية وخاصة فيما يتعلق بالصور الحاسوبية الخاصة بالبيئات العضوية.
توليد الكسيريات
غالباً ما تولد الكسيريات باستخدام الحاسب، يوجد عدد كبير من البرامج التي تمكننا من نمذجة الكسيريات كما يمكن لبعضها أن تقوم بتوليدها:
* Fractint (يعمل على مجموعة من منصات التشغيل)
* Sterling Fractal — برنامج توليد فركتلات محسن يخص أنظمة Microsoft Windows من قبل ستيفن فيركسون
* XaoS — برنامج سريع يعمل بالنظام الحقيقي يختص بنمذجة وتكبير الفركتلات (homepage).
اقرأ أيضا
* تشعب (رياضيات)
* تأثير الفراشة Butterfly effect
* نظرية الشواش Chaos theory
* تعقيد Complexity
* نظرية تركيبية Constructal theory
* خوارزمية مربع الماس Diamond-square algorithm
* فن كسيري Fractal art
* Fractal landscape
* ميتافيزياء الكسيريات Fractal metaphysics
* انضغاط كسيري Fractal compression
* Graftal
* حركيات لاخطية = ديناميكية لاخطية Non-linear dynamics
* Recursion
* Turbulence
* دالة فايغنباوم Feigenbaum Function